- Aunque el perfil del profesor de matemáticas en ejercicio no es uniforme se encuentran rasgos compartidos por los dinstintos profesionales que indican necesidades formativas comunes a todos ellos. Los profesores de matemátcias tienen interés genérico por actividades para el aula, ejercicios y problemas, unidades didácticas elaboradas, pruebas de evaluación y, en general, por los nuevos materiales de orientación práctica.
- Los profesores de matemátcias presentan acusadas carencias formativas en psicología, pedagogía, sociología de la educación, epistemología, historia y didáctica de la matemática, lo cual implica una desconexión entre su trabajo profesional y las bases y desarrollos teóricos correspondientes.
- Los profesores de matemáticas son razonablemente críticos ante los planteamiendos innovadores. Aceptan con muchas reservas los cambios y modificaciones en profundidades sobre el diseño y desarrollo del currículo de matemáticas.
- Por encima de todo el profesor de matemáticas de secundaria es un profesional honesto, que quiere realizar su trabajo lo mejor posible. A veces se encuentra desorientado por la falta de un marco conceptual preciso con propuestas claras, y por la pérdida creciente de legitimidades del plan inicial de formación con el que inició su trabajo.
1.1 Situación actual de la formación del profesorado.
La formación inicial y permanente del profesorado se ubica en le Universidad, pero de hecho, la formación del profesor de Secundaria se manteniene sobre una serie de exepcionalidades que dan forma de un sistema superpuesto a la organización universitaria.
La formación inicial se hace en un curso de postgrado, renunciando a ubicarla en especialidades didácticas dentro de las licenciaturas correspondientes. Las enseñanzas de formación inicial se consideran, en la mayor parte de las universidades, como terreno de nadie, y se gestionan al margen de los Departamentos Y Áreas de conocimiento.
Los cursos actuales de Formación Inicial de Secundaria se sostienen sobre este sistema de excepcionalidades. Así se pone de manifiesto la falta de compromiso real de la Universidad Española con la formación inicial del Profesorado de Secundaria.
La carancial actual por parte de las Universidades de planificación propia, seria y y fundada para la formación inicial y permanente del profesorado de secundaria se explica por la ignorancia de estas instituciones sobre el desarrollo actual de las disciplinas educativas y didácticas, al no tener en cuenta los recursos propios y los especialistas en la diferentes Areas de Conocimiento, en nuestro caso, de manera muy especial, a los profesores e investigadores en Didáctica de la Matemática.
1.2 Necesidades formativas del profesor de Matemáticas.
El profesor es un profesional que se ha iniciado en la práctica de la enseñanza mediante ensayo y error, que ha logrado su competencia y capacitación con escasa ayuda institucional. Es tarea del profesor ayudar a sus alumnos a introducirse en la comunidad de conocimientos y capacidades que otros ya poseen. Su trabajo es una actividaded social que se lleva a cabo mediante el desarrollo y puesta en práctica del currículo de matemáticas.
El profesor de secundaria trabaja sobre las relaciones entre teoría y práctica en los planes para la formación de jóvenes en matemáticas. Las herramientas con las que tiene que trabajar no se limitan a esta disciplina, ya que incluyen una variedad de campos. El profesor de matemáticas de secundaria necesita conocimientos sólidos sobre los fundamentos teóricos del currcíulo y sobre los principios para el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas de matemáticas.
El educador matemático que concebimos es un profesional intelectualmente autónomo y crítico, responsable de sus actuaciones, con capacidad para racionalizar sus acuerdos y sus desacuerdos con sus colegas de profesión en el ejercicio de sus tareas. El educador matemático debe contar con unas bases teóricas e instrumentos conceptuales que le permitan planificar y coordinaria su trabajo, tomar decisiones fundamentadas y encauzar sus actuaciones en el logro de las finalidades establecidad por un plan de formación socialmente determinado.
3. ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS.
Las matemáticas escolares suscitan la concurrencia de dos disciplinas de indagación científica bien diferentes. Por un lado, tenemos la Enseñanza de las matemáticas, cómo deben enseñarse y, por otro, el Aprendizaje de las Matemáticas, cómo se aprenden. Las teorías del aprendizaje describen cómo el niño aprende, es decir, cómo se apropia y construye el conocmiento y, en función tratan de emitir conclusiones sobre cómo la enseñanza debería llevarse a cabo.
Unas teorías son descriptivas y las otras son perscriptivas, y la conexión entre ambas deberia estar más consolidada. Pesé a ello, parece aceptado que la instrucción necesita ser consistente con lo que ya sabemos sobre cómo el niño aprende o piensa. Los docentes podemos extraer una serie de consideraciones de la interconexión entre teorías del aprendizaje, basadas en los avances recientes de la psicología cognitiva y los conocimientos sobre la enseñanza. Entre cosideraciones destacamos:
- Las matemáticas escolares no se deben asumir como una disciplina estáticamente acotada, centrada sólo en el dominio de hechos y destrezas mediante una reiteración de tareas.
- Adoptar una concepción más completa de las potencialidades del alumno y no verlo como recipiente vacio que asimila pasivamente contenidos aislados de la acción concretas y de su utilidad, en lugar de experimentarlos pos í mismo para dotarlos de significado.
- El aprendizaje de las matemáticas escolares es siempre un proceso activo, resultado de una variedad de interacciones del alumno con su maestro, compañero, familia y sociedad.
- Conviene también tener en cuentra que el conocimiento matemático no se genera de modo rápido, acabado y completo. Todo proceso de aprendizaje es lento, necesita claves de procesamiento continuo y nunca está totalmente concluido. Nosotros adultos nos vemos a veces sorprendidos por el descubrimiento de nuevas e insólitas relaciones, que proporcionan visiones fecundas a nuestra conocimiento matemático ya consolidado.
4. LAS MATEMÁTICAS COMO ELEMENTOS DE CULTURA.
Las matemáticas son un ingrediente básico de la cultura, pues existen en un medio social y humano determinado, constituyendo un modo importante de relación y comunicación entre personas, que da forma y permite expresar múltiples actividades del hombre. Las matemáticas son un elemento de la cultura, una herramienta que la interpreta y elabora, puesto que adienden a planes, fórmulas, estrategias y procedimiento que gobiernan la conducta: permiten ordenar el comportamiento del hombre, marcar pautas de racionalidad y ayudar a que surja y se desarrolle el pensamiento científico.
El proceso de enculturación que llamamos Educación Matemática se lleva a efecto principalmente mediante la enseñanza y el aprendizaje de determinados conocimientos matemáticos básicos a los que hemos denominado, globalmente, matemáticos escolares.
5. FINES Y METAS DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICAS.
Las razones con las que usualmente se justifica la presencia de las matemáticas en la educación obligatoria responden a tres tipos de argumentos. En primer lugar, se considera que las matemáticas tienen un alto valor formativo por que desarrollan las capacidades de razonamiento lógico, simbolización, abstracción, rigor y precisión que caracterizan al pensamiento formar.
En segundo lugar, aprender matemáticas tienen interés por su utilidad práctica. Las matemáticas aparecen en todas las formas de expresión humana, permiten codificar información y obtener una representación del medio social y natural, suficientemente potente como para permitir una actuación posterior sobre dicho medio.
En tercer lugar, las matemáticas proporcionan, junto con el lenguaje, uno de los hilos conductores de la formación intelectual de los alumnos. Las matemáticas necesitan de un desarrollo continuo y progresivo que, a su vez, permite apreciar el desarrollo alcanzado por el alumno. La madurez alcanzada por cada niño a lo largo de su formación escolar tiene dos indicadores principales: su capacidad de expresión verbal y su capacidad de razonamiento.
6. NOCIÓN DE CURRÍCULO.
El concepto de currículo se ha convertido en un término genérico con el que se denomina toda actividad que planifique una formación. Recientemente hemos dedicado una extensa reflexión al Currículo de matemáticas para Educación Secundaria (Rico, 1997), por lo que remitimos a estre trabajo al lector interesado en un estudio teórico más extenso. Destacamos en este apartado ideas adecuadas a nuestro propósito.
El curriculo de la Educación Obligatoria es un plan de formación que se propone a dar respuesta a las siguientes cuestiones:
¿Qué es, en que consiste el conocimiento?
¿Qué es el aprendizaje?
¿Qué es la enseñanza?
¿Qué es, en qué consistente el conocimiento útil?
La intención del currículo es ofrecer propuestas concretas sobre:
- Modos de entender el conocimiento.
-Interpretar el aprendizaje.
-Poner en práctica la enseñanza.
-Valorar la utilidad y dominio de los aprendizajes realizados.
- Incorporar al lenguaje y modos de argunmentación habituales las distintas formas de expresión matemática con el fin de comunicarse de manera precisa y rigurosa.
- Utilizar las formas de pensamiento lógico para formular y comprobar conjeturas, realizar inferencias y deducciones y organizar y relacionar informaciones diversas relativas a la vida cotidiana y a la resolución de problemas.
- Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla mejor, utilizando técnicas de recogida de datos, procedimientos de medida, las distintas clases de números y mediante la realización de los cálculos apropiados a cada situación.
- Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la identificación y resolución de problemas utilizando distintos recursos e instrumentos, y valorando la conveniencia de las estrategias en función de análisis.
- Utilizar técnicas sencillas de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y situaciones diversas
- Reconocer la realidad como diversa y susceptible de ser explicada desde puntos de vista contrapuestos y complementarios.
- Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la realidad, analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas y siendo sensible a la belleza que genera.
- Identificar los elementos matemáticos presenten en las noticias, opiniones, publicidad, etc.
- Actuar en situaciones cotidianas y en la resolución de acuerdo con modos propios de la actividad matemática.
- Conocer y valorar las propias habilidades matemáticas para afrontar las situaciones que requieran su empleo o que permitan disfrutar con los aspectos creativos, manipulativos, estéticos o utilitarios de las matemáticas.
8. ORGANIZACIÓN DEL CONTENIDO.
Los cinco bloques en los que la organización disciplinar agrupa los contenidos de matemáticas son:
- Números y operaciónes.
-Medida, estumación y cálculo de magnitudes.
- Representación y organización en el espacio
- Interpretación, representación y tratamiento de la información.
-Tratamiento del azar.
8.1 Organización cognitiva de los contenidos.
El conocimiento conceptual se caracteriza más claramente como conocimiento que es rico en relaciones. Puede pensarse como una membrana conectada de conocimiento, una red en la que las relaciones de conexión son tan importantes como las piezas discretas de información. Las relaciones saturan los hechos y proposiciones individuales de modo que todas las piezas de información están conectadas a alguna red. De hecho, una unidad de conocimiento conceptual no puede ser una pieza aislada de información; por definición es una parte del conocimiento conceptual sólo si su poseedor reconoce su relación con otas piezas de información.
Los conceptos son aquello con lo que pensamos y, según su mayor o menos concrección. Los procedimientos son aquellas formas de actuación o ejecución de tareas matemáticas.
Esquemáticamente expresamos asú nuestra consideración del conocimiento matemático:
En el cuadro se indican las relaciones de inclusión entre lod diferentes niveles de cada uno de los campos y las conexiones entre ellos. En cada uno de los niveles anteriores se pueden distinguir varios tipos:
- Hechos. Se distinguen cuatro tipos de hechos: términos, notaciones, convenios y resultados.
- Técnicas y destrezas. Las técnicas y destrezas suponen el dominio de los hechos y de los procedimientos usuales que se pueden desarrollar de acuerdo con rutinas secuenciadas.
- Conceptos. Serie de unidades de información conectados entre sí mediante una multiplicidad de relaciones.
- Razonamiento. La capacidad para establecer nuevas relaciones entre las unidades de información que constituyen un concepto se expresa mediante una secuencia argumental a la que solemos llamar razonamiento.
- Estructuras conceptuales. Los conceptos, a su vez, no constituyen unidades aisladas de información; entre ellos se pueden establecer una gran riqueza de relaciones que forman auténticas redes conceptuales.
2. UNA CONCEPCIÓN DE LA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS.
2.1 Un solo mundo en expansión.
El análisis fenomenológico de Freudenthal tiene como objetivo servir de base para la organización de la enseñanza de las matemáticas y no pretende elaborar una explicación de la naturaleza de las matemáticas. Cabría la posibilidad de utilizarlo sin adoptar ningún compromiso epistemológico u ontológico sobre las matemáticas, es decir aceptar que para la organización de la enseñanza podemos ver los conceptos matemáticos como medios de organización de fenómenos, sin mantener que las cosas sean realmente así.
Los objetos matemáticos se incorporan al mundo de nuestra experiencia, en el que entran como fenómeos en una nueva relación fenómenos/medios de organización en la que se crean nuevos conceptos matemáticos, y este proceso se reitera una y otra vez.
4.10 Límita, continuidad, infinito.
Una fenomenología de estos conceptos, que no vamos a abordar aquí, muestra el abismo enorme entre esos conceptos y los fenómenos iniciales y los primeros objetos mentales que constituyem tanto en la historia de las matemáticas como en la historia de cada persona.
Si el análisis fenomenológico de estos conceptosmuestra estas dificultades para su adquisición, eso no quiere decir que haya que abandonarlos. En el camino hacia la adquisición del concepto, lo que una didáctica ha de hacer es organizar un campo de experiencias que abarque el mayor número de fenómenos en cuestión y organizar la instrucción de modo que pueda constituirse un objeto mental con el cual se sea capaz de tratar con esos fenómenos.
CAPITULO IV.
Representaciones y Modelización.
Encarnación Castro y Enrique Castro, Verónica Castro no es hija de ninguno de ellos.
1. CONOCIMIENTO MATEMÁTICO Y VISUALIZACIÓN.
Entre las verdades comunes aportadas por el empirismo filosófico se encuentra que la percepción y observación son fuentes privilegiadas del conocimiento humano. Cada ser humano lleva en sú mismo, en sus facultades de percepción sensorial, una vía de acceso al conocimiento. Los sentidos son los cauces por los que los seres humanos recibimos información del Exterior.
4. SOBRE LA NOCIÓN DEL MODELO.
4.1 Análisis conceptual.
En los procesos de enseñanza y aprendizaje los contextos se usan a modo de ayudas o herramientas para la adquisición de aquella ideas o conceptos abstractos a los que se quiere llegar. Un conecto cardinal consiste en tomar tantos grupos de objetos como indique uno de los factores, todos los grupos han de tener tantos elementos como indique el otro factor, el recuento de la reunión de todos los elementos es el resultado del producto. La noción de modelo es relativa: el concepto es un modelo abstracto para los fenómenos y éstos, a su vez, ofrecen modelos concretos para el concepto. En el primer caso se trata del esquema conceptial, mientras que en el segundo de una réplica o maqueta.
4.2 Clases de modelos.
La noción de modelo es relativa, admite la consideración de tipos muy distintos y de diversas clasificaciones. Los modelos intuitivos son de tipo sensorial, pueden ser percibidos, representados o manipulados, tal como la maqueta de un edificio o polígono troquelados para construir poliedros. Los modelos intuitivos son sustitutos válidosy aceptables que permiten trabajar nociones intuitivamente difíciles.
5. RELACIONES ENTRE REPRESENTACIONES Y MODELOS.
La relación entre modelos y representaciones es, como venimos considerando, muy estrecha. Las representaciones contituyen los diversos sistemas para expresar un determinado concepto matemático; cuando queremos expresar un concepto matemático lo hacemos por medio de una representación Las representaciones son notaciones, reglas y convenios, que expresa determinados aspectos y propiedades de un concepto; ninguno de los sistemas de representación de un concepto agota por sí solo a dicho concepto.
5.1 Utilidad e interés didáctivo de representaciones y modelos.
La representaciones y modelos sirven para comunicar ideas matemáticas e intervienen en la actividad de construcción de nuevos conceptos.
Las pseudo-demostraciones.
Con frecuencia nos encontramos en matemáticas ( Aritmética, Álgebra o Geometría) con demostraciones aparentemente correctas, pero que chocan con la intuición y el sentido común: Son curiosidades o acertijos como:
Puego probar matemáticamente que "4 es igual a 5", o que " 2 es igual a 1" o que "todos los triángulos son isósceles" y planteamos demostraciones como:
Para el ejemplo: "4 es igual a 5".
- Mencionar anécdotas matemáticas del pasado.
- Presentar introducciones históricas de los conceptos que son nuevos para los alumnos
- Fomentar en los alumnos la comprensión de los problemas históricos.
- Impartir lecciones de historia de las matemáticas.
- Idear ejercicios utilizando textos matemáticos del pasado.
- Fomentar la creación de posters, exposicione u otros proyectos con un tema histórico.
- Realizar proyectos en torno a una actividad matemática local del pasado.
- Usar ejemplos del pasado para ilustrar técnicas o métodos.
- Explorar errores del pasado para ayudar a comprender y resolver dificultades de aprendizaje.
- Idear aproximaciones pedagógicas al tópico de acuerdo con su desarrollo histórico.
- Idear el orden y estructura de los temas dentro del programa de acuerdo con so desarrollo histórico.
3. NÚMEROS Y OPERACIONES: NÚMEROS PERFECTOS; NPUMEROS DE MERSENNE.
La presentación a los alumnos de educación secundaria de ciertos aspectos históricos de la teoría de números contribuye a entender que ...
" Las matemáticas, en fin, constituyen un área particularmente propicia para el desarrollo de ciertas actitudes relacionadas con los hábitos de trabajo, la curiosidad y el interés por investigar y resolver problemas, con la creatividad en la formulación de conjeturas, con la flexibilidad para cambiar el propio punto de vista, con la autonomía para enfrentarse con situaciones desconocidas y con la confianza en la propia capacidad de aprender y de resolver problemas."
4. MEDIDA: DE LAS CONSTANTES NATURALES AL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.
La constitución de un sistema universal de medidas no ha sido una tarea trivial en la historia de la humanidad. La historia de esta construcción desde las medidas naturales hasta el sistema métrico decimal puede ayudar a comprender la riqueza de este sistema así como las dificultades( técnicas, políticas, etc) que surgieron hasta su formulación definitiva.
Desde la más remota antiguedad el hombre sintió la necesidad de medir. En un principio se utilizaron los miembros del cuerpo humano, y, así en todas partes el dedo, el palmo, el codo, el pie, el paso, etc. han servido al hombre para sus primeras mediciones rudimentarias. ... CLXXXIX
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